Условие
Решите уравнение x²−3x+√(5−x)=√(5−x)+18.
Подсказка
Одинаковые слагаемые в обеих частях можно убрать, но при каких x они существуют?
Запишите условие существования квадратного корня до всех преобразований.
Показать ответ
−3
Пошаговое решение
- Записываем область определения
Выражение под корнем неотрицательно: 5−x≥0, то есть x≤5. Это условие нужно сохранить, даже когда корни из уравнения исчезнут.
- Упрощаем уравнение
Вычтем √(5−x) из обеих частей. При x≤5 это равносильный переход: x²−3x=18, то есть x²−3x−18=0. Но полученное уравнение определено при всех x, поэтому его корни надо сверить с условием x≤5.
- Решаем квадратное уравнение
D=(−3)²−4·(−18)=9+72=81, x=(3±9)/2, откуда x=6 или x=−3.
- Отбираем корни по области определения
x=6 не удовлетворяет условию x≤5: при x=6 под корнем 5−6=−1<0, и исходное уравнение не имеет смысла. x=−3 удовлетворяет условию: 5−(−3)=8≥0.
- Проверяем и отмечаем ошибку
x=−3: левая часть 9+9+√8=18+√8, правая √8+18 — равны. Типичная ошибка — «сократить» корни и записать в ответ оба числа −3 и 6, забыв про область определения.
Ответ: −3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ −3: записано условие x≤5, решено уравнение x²−3x−18=0 и корень 6 исключён как не принадлежащий области определения.
- 1
- Найдены оба корня уравнения x²−3x−18=0 и учтена область определения, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой ответ отличается от верного.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.