ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Сложите свободные члены первой и четвёртой скобок, затем второй и третьей.

После удачного перемножения пар оба произведения содержат одно и то же выражение с x² и x.

1. Группируем множители в удобные пары

   Если перемножить подряд идущие скобки, общего выражения не появится. Заметим, что 1+4=2+3=5, поэтому перемножим крайние и средние множители: (x+1)(x+4)=x²+5x+4 и (x+2)(x+3)=x²+5x+6. Уравнение принимает вид (x²+5x+4)(x²+5x+6)=120.

2. Вводим замену

   Пусть t=x²+5x. Тогда (t+4)(t+6)=120, то есть t²+10t+24−120=0, t²+10t−96=0. D=10²−4·(−96)=100+384=484=22², t=(−10±22)/2, откуда t=6 или t=−16.

3. Возвращаемся к x при t=6

   x²+5x=6, x²+5x−6=0. По теореме Виета (или разложением (x+6)(x−1)=0) получаем x=−6 или x=1.

4. Исследуем ветвь t=−16

   x²+5x=−16, x²+5x+16=0. Дискриминант D=5²−4·16=25−64=−39<0, действительных корней нет. Все переходы равносильны (уравнение определено при всех x), поэтому других корней нет.

5. Проверяем корни и типичную ошибку

   x=1: 2·3·4·5=120 — верно. x=−6: (−5)·(−4)·(−3)·(−2)=120 — верно. Типичная ошибка — перемножить (x+1)(x+2)=x²+3x+2 и (x+3)(x+4)=x²+7x+12: общего выражения нет, и дальше приходится раскрывать уравнение четвёртой степени. Вторая ошибка — не проверить ветвь t=−16 или решить её с ошибкой в D.

Ответ: −6; 1

2

Обоснованно получен ответ −6; 1: множители сгруппированы в пары (x+1)(x+4) и (x+2)(x+3), введена замена, решены обе ветви и показано, что x²+5x+16=0 корней не имеет.

1

Замена введена и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка (в дискриминанте или при раскрытии скобок), либо ветвь t=−16 отброшена без обоснования.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.