ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Какое наименьшее значение может принимать квадрат числа?

Когда сумма двух неотрицательных чисел равна нулю?

1. Используем неотрицательность квадратов

   Каждое слагаемое — квадрат, поэтому (x²−16)²≥0 и (x²+x−12)²≥0. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба числа равны нулю. Значит, уравнение равносильно системе x²−16=0 и x²+x−12=0 (оба равенства одновременно).

2. Решаем первое уравнение системы

   x²=16, откуда x=−4 или x=4.

3. Решаем второе уравнение системы

   x²+x−12=0. Корни по теореме Виета: их сумма −1, произведение −12, это x=−4 и x=3, то есть x²+x−12=(x+4)(x−3).

4. Находим общие решения

   Системе удовлетворяют только числа, которые являются корнями обоих уравнений. Общий корень один: x=−4. Число 4 не подходит: при x=4 второе выражение равно 16+4−12=8, и сумма равна 0+64=64≠0. Число 3 не подходит: (9−16)²+0=49≠0.

5. Проверяем и отмечаем ошибку

   x=−4: (16−16)²+(16−4−12)²=0+0=0 — верно. Типичная ошибка — объединить корни обоих уравнений и записать ответ −4; 3; 4, как будто это произведение, равное нулю. Раскрывать скобки и решать уравнение четвёртой степени здесь не нужно.

Ответ: −4

2

Обоснованно получен ответ −4: указано, что сумма квадратов равна нулю только при равенстве нулю обоих выражений, решены оба уравнения и выбран их общий корень.

1

Верно составлена система двух уравнений и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при решении одного из квадратных уравнений.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.