Условие
Найдите все пары чисел (x; y), для которых одновременно выполняются равенства x² + 2y² = 17 и 3x² − 2y² = 19.
Подсказка
Обозначьте x² и y² новыми буквами — система станет линейной.
Сколько значений x даёт уравнение x² = число > 0? А сколько пар получится?
Показать ответ
(−3; −2), (−3; 2), (3; −2), (3; 2)
Пошаговое решение
- Видим линейную систему относительно x² и y²
Переменные входят только в квадратах. Обозначим u = x² ≥ 0, v = y² ≥ 0: u + 2v = 17, 3u − 2v = 19 — обычная линейная система.
- Складываем уравнения
(u + 2v) + (3u − 2v) = 17 + 19, 4u = 36, u = 9. Из первого уравнения 2v = 17 − 9 = 8, v = 4.
- Проверяем знаки и возвращаемся к x и y
Оба значения неотрицательны, поэтому x² = 9 даёт x = ±3, y² = 4 даёт y = ±2.
- Составляем все пары
Уравнения не связывают знаки x и y, поэтому подходит любое сочетание знаков: (−3; −2), (−3; 2), (3; −2), (3; 2) — четыре решения.
- Проверяем и записываем ответ
Для любой пары x² = 9, y² = 4: 9 + 8 = 17 и 27 − 8 = 19 — верно. Типичные ошибки: записать только (3; 2), забыв отрицательные корни, или только «симметричные» пары (3; 2) и (−3; −2), потеряв (−3; 2) и (3; −2).
Ответ: (−3; −2), (−3; 2), (3; −2), (3; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−3; −2), (−3; 2), (3; −2), (3; 2): найдены x² = 9 и y² = 4, рассмотрены все сочетания знаков и записаны все четыре пары.
- 1
- Верно найдены x² и y², но записаны не все четыре пары (потеряны отрицательные значения) либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.