Условие
Решите систему неравенств: (x − 1)² ≥ 4 и (x + 5)/(3 − x) > 0.
Подсказка
Первое неравенство удобно решить через разность квадратов.
Решите каждое неравенство отдельно и изобразите решения на одной прямой.
Показать ответ
(−5; −1]
Пошаговое решение
- Решаем первое неравенство
(x − 1)² − 4 ≥ 0, по формуле разности квадратов (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1) ≥ 0. Корни −1 и 3, парабола ветвями вверх, поэтому x ≤ −1 или x ≥ 3.
- Решаем второе неравенство
Область определения: 3 − x ≠ 0, x ≠ 3. Нуль числителя −5, нуль знаменателя 3, обе точки выколотые (неравенство строгое). Знаки: x = 0: 5/3 > 0; x = 4: 9/(−1) < 0; x = −6: (−1)/9 < 0. Решение: (−5; 3).
- Пересекаем решения
Общая часть (−∞; −1] ∪ [3; +∞) и (−5; 3) — это (−5; −1]. Точка 3 входит в первое решение, но во втором её нет (знаменатель равен нулю), поэтому в ответ она не попадает.
- Проверяем точки
x = −3: (−4)² = 16 ≥ 4 и 2/6 > 0 — оба верны. x = −1: 4 ≥ 4 и 4/4 = 1 > 0 — оба верны, −1 входит. x = −5: дробь равна 0, а 0 > 0 неверно, −5 не входит.
- Записываем ответ и ищем ошибку
Итог: (−5; −1]. Типичная ошибка — из (x − 1)² ≥ 4 взять только x − 1 ≥ 2 (x ≥ 3) и потерять ветвь x ≤ −1; тогда пересечение с (−5; 3) оказывается пустым.
Ответ: (−5; −1]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−5; −1]: верно решены оба неравенства ((−∞; −1] ∪ [3; +∞) и (−5; 3)), учтено x ≠ 3, выполнено пересечение с правильным включением концов.
- 1
- Оба неравенства решены по верному методу и решение доведено до конца, но допущена одна ошибка во включении конца (−5 или −1) или одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.