Условие
Найдите значение выражения 1/(√11 − 3) − 1/(√11 + 3).
Подсказка
Приведите дроби к общему знаменателю, не спешите избавляться от корня в каждой дроби отдельно.
Произведение (√a − b)(√a + b) вычисляется по формуле разности квадратов.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Приводим дроби к общему знаменателю
Общий знаменатель — произведение (√11 − 3)(√11 + 3). Числитель: (√11 + 3) − (√11 − 3).
- Упрощаем числитель
(√11 + 3) − (√11 − 3) = √11 + 3 − √11 + 3 = 6: иррациональные части взаимно уничтожились. Важно раскрыть вторую скобку со сменой обоих знаков.
- Вычисляем знаменатель по формуле разности квадратов
(√11 − 3)(√11 + 3) = (√11)² − 3² = 11 − 9 = 2.
- Находим значение
6/2 = 3. Знаменатели исходных дробей не равны нулю, так как √11 ≈ 3,32 ≠ 3.
- Проверяем приближённо и отмечаем ошибку
Контроль: √11 ≈ 3,317, 1/0,317 ≈ 3,16, 1/6,317 ≈ 0,16, разность ≈ 3,0 — согласуется. Типичная ошибка: раскрыть −(√11 − 3) как −√11 − 3 и получить числитель 0, то есть ответ 0.
Ответ: 3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 3: дроби приведены к общему знаменателю, числитель упрощён до 6, знаменатель вычислен по формуле разности квадратов (11 − 9 = 2).
- 1
- Метод (общий знаменатель или избавление от иррациональности) применён верно, но допущена одна ошибка в знаке или в вычислении знаменателя.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.