Условие
Решите уравнение 2x⁴−3x³−x²−3x+2=0.
Подсказка
Сравните коэффициенты уравнения, прочитанные слева направо и справа налево.
Разделите на x² и сгруппируйте слагаемые с одинаковыми коэффициентами.
Показать ответ
1/2; 2
Пошаговое решение
- Замечаем симметрию и делим на x²
Коэффициенты 2, −3, −1, −3, 2 читаются одинаково слева направо и справа налево. x=0 не корень (при x=0 левая часть равна 2≠0), поэтому можно разделить на x²≠0: 2x²−3x−1−3/x+2/x²=0, то есть 2(x²+1/x²)−3(x+1/x)−1=0.
- Вводим замену
Пусть t=x+1/x. Тогда t²=x²+2+1/x², откуда x²+1/x²=t²−2. Уравнение: 2(t²−2)−3t−1=0, 2t²−3t−5=0.
- Решаем уравнение относительно t
D=9+40=49, t=(3±7)/4, откуда t=5/2 или t=−1.
- Возвращаемся к x
x+1/x=5/2: умножаем на 2x≠0, 2x²−5x+2=0, D=25−16=9, x=(5±3)/4, то есть x=2 или x=1/2. x+1/x=−1: x²+x+1=0, D=1−4=−3<0 — корней нет (сумма x+1/x по модулю не меньше 2).
- Проверяем и отмечаем ошибку
x=2: 32−24−4−6+2=0. x=1/2: 2/16−3/8−1/4−3/2+2=1/8−3/8−2/8−12/8+16/8=0. Типичные ошибки — делить на x², не проверив, что x=0 не корень; считать x²+1/x²=t² и получить другое уравнение.
Ответ: 1/2; 2
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 1/2; 2: показано, что x=0 не корень, выполнено деление на x², введена замена t=x+1/x с x²+1/x²=t²−2, исследованы обе ветви.
- 1
- Замена введена и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, либо ветвь t=−1 не исследована или не обосновано деление на x².
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.