ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Какая замена превращает неравенство в квадратное?

Решая неравенство для x², помните, что x может быть и отрицательным.

1. Делаем замену

   Пусть t = x², тогда t ≥ 0 и x⁴ = t². Неравенство принимает вид t² − 10t + 9 < 0.

2. Решаем неравенство для t

   Корни трёхчлена по теореме Виета: сумма 10, произведение 9, это 1 и 9. Ветви вверх, поэтому 1 < t < 9 (все такие t положительны, условие t ≥ 0 выполнено).

3. Возвращаемся к x

   1 < x² < 9. Условие x² > 1 означает |x| > 1, условие x² < 9 означает |x| < 3. Вместе: 1 < |x| < 3, то есть −3 < x < −1 или 1 < x < 3.

4. Проверяем разложением на множители

   x⁴ − 10x² + 9 = (x² − 1)(x² − 9) = (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3). При x = 2: 16 − 40 + 9 = −15 < 0, при x = −2 то же −15 < 0; при x = 0 получаем 9 > 0, при x = 4 получаем 256 − 160 + 9 = 105 > 0.

5. Записываем ответ и ищем ошибку

   Итог: (−3; −1) ∪ (1; 3). Типичные ошибки — из x² < 9 записать только x < 3 и из x² > 1 только x > 1, получив (1; 3) и потеряв симметричный промежуток (−3; −1).

Ответ: (−3; −1) ∪ (1; 3)

2

Обоснованно получен ответ (−3; −1) ∪ (1; 3): выполнена замена t = x², верно решено 1 < t < 9, при обратной замене учтены и положительные, и отрицательные x.

1

Замена и решение для t выполнены верно, решение доведено до конца, но при обратной замене потерян один из промежутков или допущена одна вычислительная ошибка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.