Условие
Сократите дробь 12^n/(3^(n−1)·2^(2n+1)).
Подсказка
Разложите 12 на простые множители и запишите 12^n как произведение степеней.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
Показать ответ
1,5
Пошаговое решение
- Раскладываем основание 12 на простые множители
12 = 3·4 = 3·2², поэтому 12^n = 3^n·(2²)^n = 3^n·2^(2n). Теперь в числителе и знаменателе одни и те же основания 3 и 2.
- Делим степени с основанием 3
3^n : 3^(n−1) = 3^(n−(n−1)) = 3^1 = 3. При вычитании показателей скобку раскрываем со сменой знака: n − n + 1 = 1.
- Делим степени с основанием 2
2^(2n) : 2^(2n+1) = 2^(2n−2n−1) = 2^(−1) = 1/2.
- Собираем результат
12^n/(3^(n−1)·2^(2n+1)) = 3·(1/2) = 3/2 = 1,5. Результат не зависит от n.
- Проверяем при конкретном n и отмечаем ошибку
При n = 1: 12/(3^0·2^3) = 12/8 = 1,5 — совпадает. Типичная ошибка — считать 12^n = 3^n·2^n (забыть, что 4 = 2²): тогда получилось бы 3·2^(−n−1), зависящее от n.
Ответ: 1,5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 1,5: разложено 12^n = 3^n·2^(2n), верно выполнено деление степеней с основаниями 3 и 2, показано, что результат не зависит от n.
- 1
- Выбран верный путь через разложение на простые множители, но допущена одна ошибка в действиях с показателями (например, в знаке при вычитании n − 1).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.