Условие
Решите неравенство (x² + x − 6)/(x² − 2x + 5) ≤ 0.
Подсказка
Может ли знаменатель x² − 2x + 5 быть отрицательным или равным нулю? Посчитайте дискриминант.
Если знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется только числителем.
Показать ответ
[−3; 2]
Пошаговое решение
- Исследуем знаменатель
D = (−2)² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 < 0, старший коэффициент 1 > 0. Значит, x² − 2x + 5 > 0 при всех x; то же видно из записи (x − 1)² + 4 ≥ 4. Область определения — все числа.
- Избавляемся от знаменателя
Умножаем обе части на положительное число x² − 2x + 5 — знак неравенства сохраняется: x² + x − 6 ≤ 0. По теореме Виета корни трёхчлена −3 и 2 (сумма −1, произведение −6), поэтому x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3) и неравенство имеет вид (x − 2)(x + 3) ≤ 0.
- Решаем квадратное неравенство
Парабола y = (x − 2)(x + 3) ветвями вверх, неположительна на отрезке между корнями вместе с концами: −3 ≤ x ≤ 2.
- Проверяем точки
x = 0: (−6)/5 = −6/5 ≤ 0 — верно. x = 3: 6/8 > 0 — неверно. x = −3 и x = 2 обращают числитель в нуль, 0 ≤ 0 — верно.
- Записываем ответ и ищем ошибку
Итог: [−3; 2]. Типичная ошибка — искать «нули знаменателя», решая x² − 2x + 5 = 0, и выкалывать несуществующие точки; ещё одна — не обосновать, что знаменатель положителен.
Ответ: [−3; 2]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [−3; 2]: доказано, что x² − 2x + 5 > 0 при всех x (D < 0 или выделение квадрата), неравенство сведено к x² + x − 6 ≤ 0, корни −3 и 2 найдены, концы включены.
- 1
- Ответ получен верным методом и решение доведено до конца, но положительность знаменателя не обоснована либо допущена одна вычислительная ошибка или ошибка во включении концов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.