ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Запишите x⁴ как квадрат некоторого выражения и перенесите всё в одну часть.

Когда квадраты двух чисел равны? Сколько случаев нужно рассмотреть?

1. Записываем обе части как квадраты и переносим в одну часть

   x⁴=(x²)², поэтому уравнение имеет вид (x²)²=(3x−10)², то есть (x²)²−(3x−10)²=0. Раскрывать (3x−10)² и получать уравнение четвёртой степени не нужно.

2. Раскладываем по формуле разности квадратов

   a²−b²=(a−b)(a+b), где a=x², b=3x−10: (x²−3x+10)(x²+3x−10)=0. Это то же самое, что a²=b² ⇔ a=b или a=−b: в отличие от кубов, у квадратов два случая. Уравнение определено при всех x, переходы равносильны.

3. Первый случай: x²=3x−10

   x²−3x+10=0, D=(−3)²−4·10=9−40=−31<0 — действительных корней нет.

4. Второй случай: x²=−(3x−10)

   x²+3x−10=0, D=3²−4·(−10)=9+40=49, x=(−3±7)/2, откуда x=2 или x=−5 (разложение (x−2)(x+5)=0).

5. Проверяем корни и отмечаем ошибку

   x=2: 2⁴=16 и (6−10)²=(−4)²=16. x=−5: (−5)⁴=625 и (−15−10)²=(−25)²=625 — верно. Типичная ошибка — «извлечь корень» из обеих частей и рассмотреть только x²=3x−10: там D<0, и получается ложный ответ «корней нет»; оба корня даёт именно второй случай.

Ответ: −5; 2

2

Обоснованно получен ответ −5; 2: уравнение сведено к (x²−3x+10)(x²+3x−10)=0 (или к двум случаям x²=±(3x−10)), показано, что x²−3x+10=0 корней не имеет, решено x²+3x−10=0.

1

Рассмотрены оба случая x²=3x−10 и x²=−(3x−10) и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка в дискриминанте или корнях одного из квадратных уравнений.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.