Условие
К бассейну подведены две трубы: через первую он наполняется, через вторую вода из него сливается. Первая труба наполняет пустой бассейн на 4 часа быстрее, чем вторая сливает воду из полного бассейна. Если открыть обе трубы одновременно, то пустой бассейн наполнится за 15 часов. За сколько часов первая труба наполняет пустой бассейн?
Подсказка
Сливная труба уменьшает количество воды: как это учесть в уравнении?
Запишите, какую часть бассейна за час наливает первая труба и какую сливает вторая.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Примем объём бассейна за 1. Пусть первая труба наполняет бассейн за x ч, x>0; тогда вторая сливает его за x+4 ч. За час первая труба наливает 1/x бассейна, вторая сливает 1/(x+4) бассейна.
- Составляем уравнение
Когда открыты обе трубы, за час уровень растёт на разность производительностей, потому что вторая труба работает против первой: 1/x − 1/(x+4) = 1/15.
- Освобождаемся от знаменателей
Левая часть равна (x+4 − x)/(x(x+4)) = 4/(x(x+4)). Получаем 4/(x(x+4)) = 1/15, то есть x(x+4) = 60, или x² + 4x − 60 = 0.
- Решаем уравнение
D = 4² + 4·60 = 256 = 16². x₁ = (−4 − 16)/2 = −10, x₂ = (−4 + 16)/2 = 6.
- Отбираем корень и проверяем
Время положительно, поэтому x = 6 ч. Проверка: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15, бассейн действительно наполняется за 15 ч. Типичная ошибка — сложить производительности (1/x + 1/(x+4) = 1/15), как будто обе трубы наполняют бассейн.
Ответ: 6
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 6: пояснены переменные, производительность сливной трубы вычтена, решено уравнение x(x+4) = 60, отрицательный корень отброшен по смыслу задачи.
- 1
- Верно составлено уравнение с разностью производительностей и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при решении квадратного уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.