Условие
Бригада асфальтирует участок дороги. Половину участка она заасфальтировала, работая с постоянной производительностью, а затем получила новый каток и стала асфальтировать за день на 25% больше, чем раньше. В итоге весь участок был заасфальтирован за 18 дней. За сколько дней бригада заасфальтировала бы весь участок, если бы продолжала работать с прежней производительностью?
Подсказка
Если за день делается в 1,25 раза больше, во сколько раз меньше нужно дней на ту же работу?
Удобно обозначить через T время всей работы при прежней производительности.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Пусть с прежней производительностью весь участок был бы заасфальтирован за T дней, T>0. Тогда первая половина участка заняла T/2 дней.
- Как меняется время второй половины
Производительность выросла на 25%, то есть стала в 1 + 25/100 = 1,25 раза больше. При том же объёме работы время уменьшается во столько же раз: вторая половина заняла (T/2) : 1,25 = (T/2)·(4/5) = 2T/5 дней.
- Составляем уравнение
Всего работа заняла 18 дней: T/2 + 2T/5 = 18. Приводим к общему знаменателю: 5T/10 + 4T/10 = 9T/10 = 18.
- Решаем
Умножаем обе части на 10/9: T = 18·10/9 = 20 дней. Это время всей работы при прежней производительности — именно его и спрашивают.
- Проверяем
Первая половина — 10 дней, вторая — 10 : 1,25 = 8 дней, всего 10 + 8 = 18. Типичная ошибка — считать, что время второй половины уменьшилось на 25%: T/2 + 0,75·T/2 = 18 даёт T = 144/7, нецелое число дней. На самом деле время уменьшается в 1,25 раза, то есть на 20%.
Ответ: 20
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 20: пояснена переменная T, обосновано, что при росте производительности на 25% время второй половины делится на 1,25, составлено и решено уравнение.
- 1
- Модель составлена верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при работе с дробями или при переводе 25% в коэффициент 1,25.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.