Условие
Мастер должен был изготовить 105 деталей, ежедневно изготавливая одинаковое число деталей. Первые 3 дня он работал с запланированной производительностью, затем стал делать на 5 деталей в день больше. Поэтому весь заказ он закончил на 1 день раньше намеченного срока. Сколько деталей в день мастер планировал изготавливать?
Подсказка
Плановый срок выражается как 105/x.
У фактической работы два этапа с разной производительностью.
Показать ответ
15
Пошаговое решение
- Вводим неизвестное и ограничения
Пусть x — запланированное число деталей в день. Тогда x>0, плановый срок 105/x дней. После первых трёх дней осталось 105−3x деталей, поэтому для описанного второго этапа x<35.
- Составляем модель двух этапов
Фактический срок равен 3+(105−3x)/(x+5). Он на один день меньше планового: 3+(105−3x)/(x+5)=105/x−1.
- Убираем знаменатели
При 0<x<35 числа x и x+5 положительны. Умножаем равенство на x(x+5): 3x(x+5)+x(105−3x)=105(x+5)−x(x+5).
- Решаем квадратное уравнение
После раскрытия скобок 120x=100x+525−x², то есть x²+20x−525=0. Разложение: (x−15)(x+35)=0. Кандидаты 15 и −35.
- Отбираем и проверяем
Отрицательное значение −35 не подходит. При x=15 плановый срок 105/15=7 дней. За первые 3 дня изготовлено 45 деталей, оставшиеся 60 изготовлены за 60/20=3 дня. Всего 6 дней, что на один день меньше 7. Ответ 15 деталей в день.
Ответ: 15
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Построена верная модель сроков, решено уравнение, выбран и проверен физически допустимый корень 15.
- 1
- Составлено верное уравнение и выполнено содержательное решение, но допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.