Условие
Все рабочие бригады работают с одинаковой производительностью, и один рабочий выполнил бы заказ за 72 дня. Когда в бригаду добавили 3 рабочих, заказ был выполнен на 2 дня быстрее, чем выполнила бы его бригада в первоначальном составе. Сколько рабочих было в бригаде первоначально?
Подсказка
За сколько дней выполнят заказ n одинаковых рабочих, если один выполнил бы его за известное число дней?
Неизвестное здесь — число людей, поэтому оно должно быть натуральным.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Пусть в бригаде было n рабочих, n — натуральное число. Один рабочий делает за день 1/72 заказа, поэтому n рабочих делают n/72 заказа в день и выполняют весь заказ за 72/n дней.
- Составляем уравнение
После добавления рабочих их стало n+3, и заказ выполняется за 72/(n+3) дней. Это на 2 дня меньше: 72/n − 72/(n+3) = 2.
- Освобождаемся от знаменателей
При n>0 умножаем на n(n+3): 72(n+3) − 72n = 2n(n+3), то есть 216 = 2n(n+3), n(n+3) = 108, n² + 3n − 108 = 0.
- Решаем уравнение
D = 3² + 4·108 = 441 = 21². n₁ = (−3 − 21)/2 = −12, n₂ = (−3 + 21)/2 = 9.
- Отбираем корень и проверяем
Число рабочих натуральное, поэтому n = 9. Проверка: 9 рабочих выполнят заказ за 72:9 = 8 дней, 12 рабочих — за 72:12 = 6 дней, разница 2 дня. Типичная ошибка — дать в ответ состав бригады после пополнения (12 рабочих).
Ответ: 9
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 9: пояснено, что n — число рабочих, время бригады выражено как 72/n, составлено и решено уравнение, отрицательный корень отброшен, так как n натуральное.
- 1
- Уравнение составлено верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при раскрытии скобок или вычислении дискриминанта, с её учётом найдено первоначальное число рабочих.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.