Условие
Числитель и знаменатель обыкновенной дроби — натуральные числа, причём знаменатель на 3 больше числителя. Если числитель увеличить на 7, а знаменатель — на 5, то дробь увеличится на 1/2. Найдите исходную дробь.
Подсказка
Обозначьте числитель буквой и выразите через неё знаменатель, исходную и новую дроби.
Разность новой и исходной дробей равна 1/2 — приведите к общему знаменателю.
Показать ответ
2/5
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Пусть числитель равен a, a — натуральное число. Тогда знаменатель a+3, дробь a/(a+3). Новая дробь (a+7)/(a+8).
- Составляем уравнение
Новая дробь больше исходной на 1/2: (a+7)/(a+8)−a/(a+3)=1/2.
- Освобождаемся от знаменателей
При натуральном a знаменатели положительны. Умножим на 2(a+3)(a+8): 2(a+7)(a+3)−2a(a+8)=(a+3)(a+8). Слева 2(a²+10a+21)−2(a²+8a)=4a+42, справа a²+11a+24. Получаем a²+7a−18=0.
- Решаем уравнение и отбираем корень
D=49+72=121=11². a=(−7±11):2, то есть a=2 или a=−9. Числитель натуральный, поэтому a=−9 не подходит; a=2, знаменатель 2+3=5.
- Проверяем и разбираем ошибку
Исходная дробь 2/5, новая (2+7)/(5+5)=9/10; 9/10−2/5=9/10−4/10=1/2 — верно. Типичная ошибка — записать в ответ только числитель 2, хотя спрашивают дробь, или прибавить 5 к числителю, а не к знаменателю.
Ответ: 2/5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно введены и описаны переменные, составлена модель ((a+7)/(a+8)−a/(a+3)=1/2 с отбором натурального корня), решение доведено до конца и получен ответ на вопрос задачи: исходная дробь 2/5.
- 1
- Модель ((a+7)/(a+8)−a/(a+3)=1/2 с отбором натурального корня) составлена верно и ход решения правильный, но допущена одна вычислительная ошибка, например при раскрытии скобок или вычислении дискриминанта; с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.