Условие
Произведение двух последовательных натуральных чисел на 109 больше их суммы. Найдите меньшее из этих чисел.
Подсказка
Если меньшее число k, то следующее натуральное — k+1.
Запишите разность произведения и суммы и приравняйте её к данному числу.
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Пусть меньшее число равно k, k — натуральное. Следующее за ним натуральное число — k+1.
- Составляем уравнение
Произведение k(k+1)=k²+k, сумма k+(k+1)=2k+1. По условию k²+k−(2k+1)=109, то есть k²−k−110=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=1+4·110=441=21². k=(1±21):2, то есть k=11 или k=−10. Можно и разложить: k²−k−110=(k−11)(k+10).
- Отбираем корень
Число −10 не натуральное, поэтому оно не подходит. Остаётся k=11, второе число 12.
- Проверяем и разбираем ошибку
11·12=132, 11+12=23, 132−23=109 — верно. Типичная ошибка — записать сумму как 2k и получить k²−k−109=0, у которого нет целых корней.
Ответ: 11
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно введены и описаны переменные, составлена модель (k(k+1)−(2k+1)=109 с отбором натурального корня), решение доведено до конца и получен ответ на вопрос задачи: меньшее число 11.
- 1
- Модель (k(k+1)−(2k+1)=109 с отбором натурального корня) составлена верно и ход решения правильный, но допущена одна вычислительная ошибка, например при раскрытии скобок или вычислении дискриминанта; с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.