Условие
Смешав 20-процентный и 50-процентный растворы кислоты и добавив 20 кг чистой воды, получили 25-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 70-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 39-процентный раствор. Сколько килограммов 20-процентного раствора использовали для получения смеси?
Подсказка
В обоих случаях масса смеси одна и та же, меняется только масса кислоты.
Вычтите одно уравнение баланса кислоты из другого — останется одна сумма x+y.
Показать ответ
50
Пошаговое решение
- Вводим переменные
Пусть взяли x кг 20-процентного и y кг 50-процентного раствора, x>0, y>0. Кислоты в них 0,2x кг и 0,5y кг. В обоих опытах масса смеси одинакова: x+y+20 кг.
- Составляем два уравнения баланса кислоты
С водой кислоты не добавилось: 0,2x+0,5y=0,25(x+y+20). С 70-процентным раствором добавилось 0,7·20=14 кг кислоты: 0,2x+0,5y+14=0,39(x+y+20).
- Вычитаем уравнения и находим массу смеси
Вычтем первое уравнение из второго: 14=0,14(x+y+20). Значит, x+y+20=14:0,14=100 кг, то есть x+y=80.
- Находим x
Из первого уравнения 0,2x+0,5y=0,25·100=25, то есть 2x+5y=250. Подставим y=80−x: 2x+400−5x=250, 3x=150, x=50.
- Проверяем и разбираем ошибку
y=80−50=30. Кислоты 0,2·50+0,5·30=25 кг; 25:100=0,25 и (25+14):100=0,39 — оба условия выполнены. Типичная ошибка — забыть 20 кг воды в массе смеси и писать 0,25(x+y).
Ответ: 50
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно введены и описаны переменные, составлена модель (два уравнения баланса кислоты с общей массой x+y+20), решение доведено до конца и получен ответ на вопрос задачи: 50 кг 20-процентного раствора.
- 1
- Модель (два уравнения баланса кислоты с общей массой x+y+20) составлена верно и ход решения правильный, но допущена одна вычислительная ошибка, например при делении 14 на 0,14 или при подстановке y=80−x; с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.