Условие
Вкладчик положил в банк 25 000 рублей. В конце первого года банк начислил некоторый процент на всю сумму вклада, а в конце второго года — процент, на 10 процентных пунктов больший, чем в первый год, тоже на всю сумму, находившуюся на счёте. Вкладчик не снимал и не добавлял деньги. В конце второго года на счёте оказалось 39 000 рублей. Сколько процентов начислил банк в первый год?
Подсказка
Выразите процент второго года через процент первого.
Удобно ввести t=100+p: получится квадратное уравнение с «круглым» дискриминантом.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Пусть в первый год начислено p %, p>0. Тогда во второй год начислено (p+10) %. Начисление процентов — это умножение суммы на (1+p/100), затем на (1+(p+10)/100).
- Составляем уравнение
25 000·(1+p/100)·(1+(p+10)/100)=39 000. Умножим обе части на 10 000 и разделим на 25 000: (100+p)(110+p)=15 600.
- Решаем квадратное уравнение
Обозначим t=100+p, t>100: t(t+10)=15 600, t²+10t−15 600=0. D=10²+4·15 600=62 500=250². t=(−10±250):2, то есть t=120 или t=−130.
- Отбираем корень
t=−130 не подходит, так как t>100. Значит, t=120 и p=120−100=20.
- Проверяем и разбираем ошибку
После первого года 25 000·1,2=30 000 рублей, после второго 30 000·1,3=39 000 рублей — совпало с условием. Типичная ошибка — считать проценты второго года от первоначальной суммы 25 000 рублей, а не от 30 000 рублей; тогда уравнение получается линейным и ответ неверным.
Ответ: 20
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно введены и описаны переменные, составлена модель (25 000(1+p/100)(1+(p+10)/100)=39 000 с отбором корня), решение доведено до конца и получен ответ на вопрос задачи: в первый год начислено 20 %.
- 1
- Модель (25 000(1+p/100)(1+(p+10)/100)=39 000 с отбором корня) составлена верно и ход решения правильный, но допущена одна вычислительная ошибка, например при вычислении дискриминанта или корня; с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.