Условие
Бак можно наполнить водой через три крана. Первый и второй краны вместе наполняют его за 12 минут, второй и третий вместе — за 20 минут, а первый и третий вместе — за 15 минут. За сколько минут наполнит бак один третий кран?
Подсказка
Переходите от времени к доле бака, которую кран наполняет за минуту.
Сложите три данных равенства: сколько раз в сумме встречается каждый кран?
Показать ответ
60
Пошаговое решение
- Вводим производительности
Примем объём бака за 1. Пусть первый, второй и третий краны наполняют за минуту соответственно a, b и c бака. При одновременной работе складываются производительности, а не времена: a + b = 1/12, b + c = 1/20, a + c = 1/15.
- Складываем три равенства
Каждый кран входит ровно в две пары, поэтому 2(a + b + c) = 1/12 + 1/20 + 1/15 = 5/60 + 3/60 + 4/60 = 1/5. Значит, a + b + c = 1/10.
- Выделяем третий кран
Из суммы вычитаем пару «первый и второй»: c = (a + b + c) − (a + b) = 1/10 − 1/12 = 1/60 бака в минуту.
- Находим время и проверяем
Один третий кран наполнит бак за 1 : (1/60) = 60 мин. Проверка: a = 1/10 − 1/20 = 1/20, b = 1/10 − 1/15 = 1/30; тогда b + c = 1/30 + 1/60 = 1/20 и a + c = 1/20 + 1/60 = 1/15, как в условии. Типичная ошибка — остановиться на времени работы всех трёх кранов (10 мин) или вычитать времена вместо производительностей.
Ответ: 60
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 60: введены производительности кранов с пояснением, составлена система из трёх уравнений, найдена общая производительность и из неё выделена производительность третьего крана.
- 1
- Система составлена верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при сложении или вычитании дробей (например, в сумме 1/12 + 1/20 + 1/15), с её учётом найдено время работы третьего крана.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.