Условие
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Резервуар объёмом 132 литра первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 150 литров. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба?
Подсказка
Выразите время заполнения каждого резервуара через производительность первой трубы.
Обратите внимание: трубы заполняют резервуары разного объёма.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Вводим переменную и выражаем время
Пусть первая труба пропускает x литров в минуту, x>0. Тогда вторая пропускает x+3 л/мин. Время равно объёму, делённому на производительность: первая заполняет свой резервуар за 132/x мин, вторая свой — за 150/(x+3) мин. Резервуары разные, поэтому объёмы в дробях тоже разные.
- Составляем уравнение
Первая труба работает на 1 минуту дольше: 132/x − 150/(x+3) = 1.
- Освобождаемся от знаменателей
При x>0 оба знаменателя положительны. Умножаем на x(x+3): 132(x+3) − 150x = x(x+3), то есть 132x + 396 − 150x = x² + 3x. Переносим всё вправо: x² + 21x − 396 = 0.
- Решаем квадратное уравнение
D = 21² + 4·396 = 441 + 1584 = 2025 = 45². x₁ = (−21 − 45)/2 = −33, x₂ = (−21 + 45)/2 = 12.
- Отбираем корень и проверяем
Производительность положительна, поэтому −33 не подходит, x = 12 л/мин. Проверка: первая труба заполняет 132 л за 132:12 = 11 мин, вторая пропускает 15 л/мин и заполняет 150 л за 150:15 = 10 мин, разница 1 мин. Типичная ошибка — записать в ответ производительность второй трубы 15 или взять в обеих дробях один и тот же объём.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 12: введена переменная с пояснением (л/мин первой трубы), составлено уравнение 132/x − 150/(x+3) = 1, решено квадратное уравнение, корень −33 отброшен по смыслу.
- 1
- Уравнение составлено верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка (в раскрытии скобок или в дискриминанте) либо не объяснено, почему отброшен отрицательный корень.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.