Условие
Мастер получил заказ и рассчитал, что выполнит его точно к сроку, если каждый день будет изготавливать одно и то же число деталей. Если бы он изготавливал в день на 2 детали больше, то выполнил бы заказ на 3 дня раньше срока, а если бы на 3 детали меньше — на 6 дней позже срока. Сколько деталей в заказе?
Подсказка
Объём заказа во всех трёх случаях один и тот же: запишите его как произведение числа деталей в день на число дней.
Введите две неизвестные — плановую производительность и срок — и раскройте скобки: что сократится?
Показать ответ
540
Пошаговое решение
- Вводим переменные
Пусть по плану мастер изготавливает n деталей в день и работает d дней, n>3, d>3. Тогда в заказе nd деталей — эта величина одна и та же во всех трёх случаях.
- Составляем систему
Работа равна производительности, умноженной на время. При 2 лишних деталях в день он работал бы d − 3 дней, при 3 деталях меньше — d + 6 дней, а заказ тот же: (n + 2)(d − 3) = nd и (n − 3)(d + 6) = nd.
- Раскрываем скобки
Первое: nd − 3n + 2d − 6 = nd, то есть 2d − 3n = 6. Второе: nd + 6n − 3d − 18 = nd, то есть 6n − 3d = 18, или d = 2n − 6. Произведение nd сократилось, система стала линейной.
- Решаем систему
Подставляем d = 2n − 6 в первое уравнение: 2(2n − 6) − 3n = 6, n − 12 = 6, n = 18. Тогда d = 2·18 − 6 = 30. Оба значения удовлетворяют условиям n>3, d>3.
- Отвечаем на вопрос и проверяем
В заказе 18·30 = 540 деталей. Проверка: 20·27 = 540 и 15·36 = 540 — тот же заказ. Типичная ошибка — записать в ответ плановую производительность 18 или срок 30, а спрашивают число деталей в заказе.
Ответ: 540
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 540: введены плановая производительность n и срок d, из неизменности заказа составлены уравнения (n + 2)(d − 3) = nd и (n − 3)(d + 6) = nd, система решена, найдено произведение nd.
- 1
- Система составлена верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при раскрытии скобок или при решении получившейся линейной системы.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.