Условие
Два бегуна стартовали одновременно из одной точки круговой дорожки. Скорость первого бегуна равна 12 км/ч. Если они побегут в противоположных направлениях, то впервые встретятся через 5 минут после старта, а если в одном направлении, то первый впервые догонит второго через 20 минут после старта. Скорости бегунов постоянны. Найдите длину круговой дорожки. Ответ дайте в метрах.
Подсказка
Какой путь пробегают бегуны вместе до первой встречи при встречном движении? А разность их путей при движении в одну сторону?
Удобно перевести скорость в метры в минуту и ввести две неизвестные: длину круга и скорость второго.
Показать ответ
1600
Пошаговое решение
- Вводим переменные и переводим единицы
12 км/ч = 12 000 м за 60 мин = 200 м/мин. Пусть L м — длина дорожки, y м/мин — скорость второго бегуна (0 < y < 200, ведь первый его догоняет).
- Составляем уравнение для встречного движения
Бегуны сближаются со скоростью 200 + y м/мин и до первой встречи вместе пробегают один круг: (200 + y)·5 = L.
- Составляем уравнение для движения в одну сторону
Первый догоняет второго со скоростью 200 − y м/мин и до первой встречи пробегает на круг больше: (200 − y)·20 = L.
- Решаем систему
Приравниваем: 1000 + 5y = 4000 − 20y, откуда 25y = 3000, y = 120 м/мин. Тогда L = (200 + 120)·5 = 320·5 = 1600 м.
- Проверяем
(200 − 120)·20 = 80·20 = 1600 м — второе условие выполнено. Типичная ошибка — забыть перевести 12 км/ч в метры в минуту и подставить в уравнения число 12.
Ответ: 1600
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно составлены оба уравнения (сумма путей — один круг, разность путей — один круг) в согласованных единицах, система решена, получен ответ 1600 м.
- 1
- Верно составлены оба уравнения системы, но при переводе единиц или решении допущена одна вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.