Условие
Из пунктов A и B, расстояние между которыми 60 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Они встретились через 2 часа после выезда, а затем продолжили путь. Велосипедист, выехавший из A, прибыл в B на 3 часа позже, чем второй велосипедист прибыл в A. Найдите скорость велосипедиста, выехавшего из A. Ответ дайте в км/ч.
Подсказка
Что можно найти из того, что велосипедисты встретились через 2 часа?
Выразите скорость второго через скорость первого и сравните времена на весь путь.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Находим сумму скоростей
За 2 ч до встречи велосипедисты вместе проехали всё расстояние 60 км, значит, скорость сближения 60 : 2 = 30 км/ч.
- Вводим переменную
Пусть x км/ч — скорость велосипедиста из A, тогда скорость второго 30 − x км/ч (0 < x < 30).
- Составляем уравнение
Первый проехал весь путь за 60/x ч, второй — за 60/(30 − x) ч. Первый ехал на 3 ч дольше: 60/x − 60/(30 − x) = 3.
- Решаем уравнение
Умножаем на x(30 − x) ≠ 0: 60(30 − x) − 60x = 3x(30 − x), то есть 1800 − 120x = 90x − 3x². Получаем 3x² − 210x + 1800 = 0, x² − 70x + 600 = 0. D = 4900 − 2400 = 2500 = 50², x = (70 − 50)/2 = 10 или x = (70 + 50)/2 = 60.
- Отбираем корень и проверяем
При x = 60 скорость второго была бы 30 − 60 = −30 < 0, поэтому этот корень не подходит; x = 10. Проверка: скорости 10 и 20 км/ч, времена 60 : 10 = 6 ч и 60 : 20 = 3 ч, разность 3 ч. Типичная ошибка — оставить корень 60, не проверив, что скорость второго велосипедиста положительна.
Ответ: 10
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно найдена сумма скоростей 30 км/ч, составлено уравнение разности времён, решено квадратное уравнение, корень 60 отброшен с объяснением, получен ответ 10 км/ч.
- 1
- Верно составлено и решено уравнение, но допущена одна вычислительная ошибка либо корень 60 отброшен без обоснования (не проверена положительность скорости второго).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.