Условие
В зрительном зале в первом ряду 20 мест, а в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем. Всего в зале 560 мест. Сколько рядов в зрительном зале?
Подсказка
Числа мест в рядах — арифметическая прогрессия; запишите её первый член и разность.
Сумму прогрессии выразите через n и приравняйте к общему числу мест.
Показать ответ
16
Пошаговое решение
- Узнаём арифметическую прогрессию
Числа мест в рядах образуют арифметическую прогрессию: a₁=20, d=2. Пусть рядов n, n — натуральное. Всего мест — это сумма первых n членов.
- Составляем уравнение
Sₙ=(2a₁+d(n−1))·n/2=(40+2(n−1))·n/2=(n+19)n. По условию n(n+19)=560, то есть n²+19n−560=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=19²+4·560=361+2240=2601=51². n=(−19±51):2, то есть n=16 или n=−35.
- Отбираем корень
Число рядов — натуральное, поэтому n=−35 не подходит. Остаётся n=16.
- Проверяем и разбираем ошибку
В последнем ряду 20+2·15=50 мест, сумма (20+50)·16/2=560 — верно. Типичная ошибка — считать, что в n-м ряду a₁+dn мест вместо a₁+d(n−1): тогда получается уравнение n(n+21)=560, у которого нет натуральных корней.
Ответ: 16
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно введены и описаны переменные, составлена модель (сумма арифметической прогрессии n(n+19)=560), решение доведено до конца и получен ответ на вопрос задачи: в зале 16 рядов.
- 1
- Модель (сумма арифметической прогрессии n(n+19)=560) составлена верно и ход решения правильный, но допущена одна вычислительная ошибка, например при вычислении дискриминанта или суммы прогрессии; с её учётом решение доведено до конца.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.