Условие
Постройте график функции: f(x)=x+2 при x<0; f(x)=x² при x≥0. Найдите все значения k, при которых прямая y=k имеет с графиком ровно две общие точки.
Подсказка
У двух ветвей разные ограничения на x.
Рассмотрите отдельно уровни k=0 и k=2.
Показать ответ
k∈[0; 2)
Пошаговое решение
- Строим левую ветвь
При x<0 это часть прямой y=x+2. Например, она проходит через (−2;0) и (−1;1). Точка (0;2) выколота, потому что условие этой ветви строгое. Её множество значений: y<2.
- Строим правую ветвь
При x≥0 это правая половина параболы y=x²: точки (0;0), (1;1), (2;4). Точка (0;0) включена. На этой ветви каждому y≥0 соответствует ровно одно x≥0.
- Определяем число пересечений с каждой ветвью
С левой ветвью прямая y=k пересекается один раз тогда и только тогда, когда k<2; соответствующая абсцисса x=k−2<0. С правой ветвью одно пересечение существует тогда и только тогда, когда k≥0: x=√k.
- Пересекаем условия
Две точки существуют, если одновременно k<2 и k≥0, то есть 0≤k<2. Эти точки различны, поскольку одна имеет отрицательную абсциссу, а другая неотрицательную.
- Проверяем границы и остальные случаи
При k=0 точки (−2;0) и (0;0) существуют, поэтому 0 включён. При k=2 левая точка (0;2) выколота, остаётся только (√2;2), поэтому 2 исключён. При k<0 или k>2 имеется только одно пересечение.
Ответ: k∈[0; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно построены обе ветви с отмеченными концами и обоснован ответ 0≤k<2.
- 1
- График построен верно, но значения параметра найдены с ошибкой либо не найдены.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.