ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Найдите множество значений каждой части графика; не забудьте, что гипербола не пересекает свою асимптоту.

Проверьте горизонтальную прямую, проходящую через точку стыка частей.

1. Строим часть гиперболы (x ≤ −1)

   y = −4/x: точки (−1; 4) — закрашенная, (−2; 2), (−4; 1), (−8; 1/2). При x → −∞ значения положительны и стремятся к 0: ось Ox — горизонтальная асимптота, уровень 0 не достигается. Значения этой части — (0; 4].

2. Строим луч (x > −1)

   y = −x + 3 убывает: точки (0; 3), (3; 0), (5; −2). При x = −1 формула дала бы 4, эта точка лучу не принадлежит, но она уже есть на гиперболе — график непрерывен, (−1; 4) — его наивысшая точка. Значения луча — (−∞; 4).

3. Считаем точки на каждой части

   Гипербола: −4/x = m, x = −4/m; условие x ≤ −1 выполняется при 0 < m ≤ 4. Луч: −x + 3 = m, x = 3 − m; условие x > −1 выполняется при m < 4. При m ≤ 0 гипербола точек не даёт.

4. Складываем количества

   m ≤ 0: только точка луча — одна; 0 < m < 4: одна на гиперболе и одна на луче — две; m = 4: только (−1; 4) — одна; m > 4: ни одной. Ровно одна общая точка при m ≤ 0 и при m = 4.

5. Проверяем ответ и отмечаем ошибки

   m = 0: гипербола не пересекает асимптоту, остаётся точка (3; 0) — одна, значит 0 входит. m = −2: точка (5; −2) — одна. Типичные ошибки — исключить m = 0, решив, что там «граница» гиперболы, или потерять изолированное значение m = 4, посчитав точку (−1; 4) дважды.

Ответ: (−∞; 0]; 4

2

График построен верно (ветвь гиперболы при x ≤ −1 с точкой (−1; 4) и луч y = −x + 3 при x > −1), верно найдены все значения: m ≤ 0 (с включением m = 0) и отдельно m = 4.

1

График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все: например, потеряно значение m = 4 или неверно решён вопрос о включении m = 0.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.