ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Какой вид имеет график на промежутке −2 ≤ x ≤ 1? Что будет, если прямая y = m пойдёт вдоль него?

Для параболической части найдите вершину и выясните, при каких m оба корня лежат левее x = −2.

1. Строим левую часть (x < −2)

   x² + 6x + 7 = (x + 3)² − 2: ветви вверх, вершина (−3; −2). Точки (−5; 2), (−4; −1), (−3; −2). При x → −2 значение стремится к (−2 + 3)² − 2 = −1.

2. Строим отрезок и правый луч

   При −2 ≤ x ≤ 1 график — горизонтальный отрезок y = −1 от (−2; −1) до (1; −1), оба конца закрашены. Правый луч y = 2x − 3 при x > 1: точки (2; 1), (3; 3); при x = 1 он подходит к (1; −1). Все три части стыкуются без разрывов.

3. Исключаем уровень отрезка

   При m = −1 прямая y = −1 содержит весь отрезок, то есть общих точек бесконечно много (и ещё точка (−4; −1) параболы). Ровно двух точек там нет — значение m = −1 не подходит.

4. Считаем точки при m ≠ −1

   Парабола: (x + 3)² − 2 = m, x = −3 ± √(m + 2); правый корень меньше −2 при √(m + 2) < 1, то есть m < −1. Значит, m = −2 — одна точка, −2 < m < −1 — две, m > −1 — одна. Луч: 2x − 3 = m, x = (m + 3)/2 > 1 при m > −1 — одна точка. Итого: m < −2 — 0, m = −2 — 1, −2 < m < −1 — 2, m > −1 — 2.

5. Записываем ответ и отмечаем ошибку

   Ровно две общие точки при −2 < m < −1 и при m > −1. Проверка: m = 3 даёт (−3 − √5; 3) и (3; 3) — две точки. Типичная ошибка — записать m > −2 целиком, не заметив, что при m = −1 прямая накрывает отрезок графика.

Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; +∞)

2

График из трёх частей построен верно (парабола с вершиной (−3; −2), отрезок y = −1 на [−2; 1], луч y = 2x − 3), верно найдены все m: −2 < m < −1 и m > −1, значение m = −1 исключено.

1

График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все: например, не исключено m = −1 (бесконечно много общих точек) или включено m = −2.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.