ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Условие x < 1 содержит и отрицательные числа: сколько ветвей гиперболы y = 4/x попадает в эту часть?

Найдите множество значений каждой части графика и объедините их.

1. Строим параболическую часть (x ≥ 1)

   x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3: ветви вверх, вершина (2; 3). Точки (1; 4) — закрашенная, (2; 3), (3; 4), (4; 7). Значения этой части — [3; +∞).

2. Строим гиперболическую часть (x < 1)

   При x = 0 формула 4/x не определена, поэтому условие x < 1 даёт две ветви. При 0 < x < 1: точки (1/2; 8), (4/5; 5); при x → 1 значение стремится к 4, точка (1; 4) этой части не принадлежит, но есть на параболе. Значения этой ветви — (4; +∞). При x < 0: точки (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1); значения — (−∞; 0), уровень 0 не достигается (ось Ox — асимптота).

3. Находим множество значений функции

   Объединяем: [3; +∞) ∪ (4; +∞) ∪ (−∞; 0) = (−∞; 0) ∪ [3; +∞). Прямая y = m имеет с графиком общие точки тогда и только тогда, когда m — значение функции.

4. Выписываем m без общих точек

   Общих точек нет, если m не принадлежит множеству значений: 0 ≤ m < 3. Проверим концы: m = 0 — уравнение 4/x = 0 решений не имеет, а парабола не опускается ниже 3, значит, 0 входит в ответ; m = 3 — вершина (2; 3) лежит на графике, значит, 3 не входит.

5. Отмечаем типичные ошибки

   Частая ошибка — забыть левую ветвь гиперболы (x < 0 тоже удовлетворяет условию x < 1) и записать ответ m < 3. Другая ошибка — исключить m = 0, хотя асимптота графика не пересекает. Проверка m = 1: 4/x = 1 при x = 4, но 4 > 1 — точка не на графике, парабола тоже не достигает 1.

Ответ: [0; 3)

2

График построен верно (часть параболы с вершиной (2; 3) при x ≥ 1 и обе ветви гиперболы y = 4/x при x < 1, x ≠ 0), верно найдены все m: 0 ≤ m < 3, с обоснованием включения 0 и исключения 3.

1

График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все: например, исключено m = 0 или включено m = 3.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.