ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Заметьте, что x − 2 и 2 − x отличаются только знаком.

Одна общая точка бывает не только при касании: проверьте прямую через выколотую точку.

1. Упрощаем формулу

   Функция определена при x ≠ 2. Так как 2 − x = −(x − 2), при x ≠ 2 дробь (x − 2)/(2 − x) = −1 и y = −(x² + 2) = −x² − 2. График — парабола с вершиной (0; −2), ветви вниз, с выколотой точкой при x = 2: y = −4 − 2 = −6, точка (2; −6). Опорные точки: (±1; −3), (−2; −6).

2. Составляем уравнение для общих точек

   Прямая y = kx проходит через начало координат. Общие точки: −x² − 2 = kx, x ≠ 2, то есть x² + kx + 2 = 0 при x ≠ 2. Его дискриминант D = k² − 8.

3. Случай касания

   Одна точка получается, если D = 0: k² = 8, k = −2√2 или k = 2√2. Корень x = −k/2 равен √2 или −√2, он не совпадает с выколотой абсциссой 2, поэтому обе прямые касаются графика и дают ровно одну точку.

4. Случай прямой через выколотую точку

   Если D > 0, корней два, и одна общая точка останется, только если один из корней равен 2: 4 + 2k + 2 = 0, k = −3. Тогда D = 9 − 8 = 1 > 0, по теореме Виета второй корень равен 2 : 2 = 1, точка (1; −3) лежит на графике — общая точка ровно одна. При D < 0 точек нет, при остальных k с D > 0 их две.

5. Записываем результат и проверяем

   Подходят k = −3, k = −2√2, k = 2√2; в порядке возрастания −3 < −2√2, так как 2√2 = √8 < 3. Типичная ошибка — найти только касательные из условия D = 0 и потерять прямую y = −3x, проходящую через выколотую точку (2; −6).

Ответ: −3; −2√2; 2√2

2

График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: −3; −2√2; 2√2. Рассмотрены оба случая: D = 0 (касание) и прохождение прямой через выколотую точку (2; −6).

1

График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, найдены только касательные k = ±2√2 и потеряна прямая y = −3x через выколотую точку (2; −6).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.