Условие
Постройте график функции y = x² − 4|x − 1| и найдите все значения m, при которых у прямой y = m и этого графика ровно две общие точки.
Подсказка
Модуль раскрывается в точке, где x − 1 = 0; слева и справа от неё получатся разные параболы.
Найдите ординату точки излома и вершины обеих парабол — именно на этих уровнях меняется число общих точек.
Показать ответ
(−8; 0) ∪ (1; +∞)
Пошаговое решение
- Раскрываем модуль относительно x = 1
Выражение x − 1 меняет знак при x = 1, а не при x = 0. При x ≥ 1: y = x² − 4x + 4 = (x − 2)². При x < 1: y = x² + 4x − 4 = (x + 2)² − 8. Обе формулы при x = 1 дают 1 — это точка излома (1; 1).
- Строим график
Правая часть — парабола y = (x − 2)² с вершиной (2; 0) при x ≥ 1: от излома (1; 1) опускается к (2; 0) и поднимается через (3; 1), (4; 4). Левая часть — парабола y = (x + 2)² − 8 с вершиной (−2; −8) при x < 1: точки (0; −4), (−4; −4), (−5; 1).
- Считаем точки на левой части
(x + 2)² − 8 = m при x < 1: x = −2 ± √(m + 8). При m < −8 корней нет, при m = −8 один. Больший корень меньше 1, если √(m + 8) < 3, то есть m < 1. Итого: −8 < m < 1 — две точки, m ≥ 1 — одна.
- Считаем на правой части и складываем
(x − 2)² = m при x ≥ 1: x = 2 ± √m. При m < 0 точек нет, при m = 0 одна; меньший корень 2 − √m ≥ 1 при m ≤ 1, поэтому 0 < m ≤ 1 — две, m > 1 — одна. Сумма: m < −8 — 0; m = −8 — 1; −8 < m < 0 — 2; m = 0 — 3; 0 < m < 1 — 4; m = 1 — 3; m > 1 — 2.
- Записываем ответ
Ровно две общие точки — при −8 < m < 0 и при m > 1. Уровни 0 и 1 не входят: при m = 0 это (−2 ± 2√2; 0) и вершина (2; 0) — три точки, при m = 1 — (−5; 1), излом (1; 1) и (3; 1), тоже три (точку x = 1 даёт только правая формула). Типичные ошибки — раскрыть модуль по знаку x, а не x − 1, включить в ответ m = 1, посчитав излом «касанием», или потерять промежуток −8 < m < 0 на левой параболе.
Ответ: (−8; 0) ∪ (1; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно: (x − 2)² при x ≥ 1 и (x + 2)² − 8 при x < 1 с изломом в точке (1; 1); обоснованно найдены все m: −8 < m < 0 и m > 1, уровни вершины 0 и излома 1 (три точки) и уровень −8 (одна точка) исключены.
- 1
- График построен верно, но значения m найдены неверно или не все (например, включено m = 1, при котором прямая проходит через излом (1; 1) и точек три, или потерян промежуток −8 < m < 0).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.