ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Поворачивайте прямую вокруг начала координат и следите за вершиной «уголка».

Сравните угловой коэффициент прямой с угловыми коэффициентами лучей графика.

1. Строим «уголок»

   График y = |x − 3| + 2 — «уголок» с вершиной A(3; 2): при x ≥ 3 это луч y = x − 1 (угловой коэффициент 1), при x ≤ 3 — луч y = 5 − x (коэффициент −1). Контрольные точки (0; 5), (5; 4).

2. Находим особые прямые пучка

   Прямые y = kx проходят через O(0; 0). Особые положения: через вершину A(3; 2) — k = 2/3; параллельно правому лучу — k = 1; параллельно левому лучу — k = −1.

3. Пересекаем прямую с каждым лучом

   Правый луч: x − 1 = kx, x = 1/(1 − k); нужно x ≥ 3, это верно при 2/3 ≤ k < 1. Левый луч: 5 − x = kx, x = 5/(1 + k); нужно x ≤ 3: при k > −1 это 1 + k ≥ 5/3, то есть k ≥ 2/3, а при k < −1 получается x < 0 — подходит всегда.

4. Считаем точки

   k < −1: одна точка (на левом луче). −1 ≤ k < 2/3: общих точек нет. k = 2/3: одна — вершина A. 2/3 < k < 1: две, по одной на каждом луче. k ≥ 1: одна на левом луче (при k = 1 прямая параллельна правому лучу, при k > 1 уходит от него).

5. Проверяем и записываем ответ

   Ровно две общие точки — при 2/3 < k < 1. Проверка k = 4/5: правый луч x = 1/(1/5) = 5, точка (5; 4); левый луч x = 5/(9/5) = 25/9 < 3 — две точки. Типичная ошибка — включить k = 1: прямая y = x параллельна лучу y = x − 1 и пересекает только левый луч в точке (5/2; 5/2).

Ответ: (2/3; 1)

2

График построен верно (уголок с вершиной (3; 2)), обоснованно найден промежуток 2/3 < k < 1: k = 2/3 — прямая через вершину, k = 1 — прямая, параллельная правому лучу; концы не входят.

1

График построен верно, но значения k найдены неверно или не полностью (например, включены концы 2/3 или 1, либо неверно найден угловой коэффициент прямой через вершину).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.