ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

При x < 0 произведение x|x| равно −x², поэтому левая часть графика — парабола ветвями вниз.

Найдите вершину «горба» левой части и вершину «впадины» правой части: между их уровнями прямая пересекает все три монотонных участка.

1. Раскрываем модули

   При x ≥ 0: x|x| = x², 2|x| = 2x, y = x² + 2x − 4x = x² − 2x. При x < 0: x|x| = −x², 2|x| = −2x, y = −x² − 2x − 4x = −x² − 6x. Обе формулы при x = 0 дают 0, поэтому график непрерывен.

2. Строим обе части

   Правая часть: y = x² − 2x = (x − 1)² − 1 при x ≥ 0 — ветви вверх, вершина (1; −1), точки (0; 0), (2; 0), (3; 3). Левая часть: y = −x² − 6x = −(x + 3)² + 9 при x < 0 — ветви вниз, вершина (−3; 9), нули x = −6 и x = 0, точки (−1; 5), (−5; 5).

3. Описываем ход графика

   Слева направо график поднимается от −∞ до вершины (−3; 9), затем непрерывно опускается через (0; 0) до вершины (1; −1) и после неё возрастает до +∞. Получаются «горб» высотой 9 и «впадина» глубиной −1.

4. Считаем точки для разных m

   m > 9: одна точка на правой возрастающей ветви. m = 9: две — вершина (−3; 9) и точка правой ветви. −1 < m < 9: прямая пересекает возрастающий участок левее x = −3, убывающий участок от (−3; 9) до (1; −1) и правую ветвь — три точки. m = −1: две. m < −1: одна (на левой ветви).

5. Записываем ответ и проверяем

   Ровно три точки — при −1 < m < 9; концы не входят, там прямая проходит через вершину и точек две. Проверка m = 0: x = −6, x = 0 и x = 2 — три точки. Типичная ошибка — выколоть m = 0, решив, что точка (0; 0) «считается дважды», или включить в ответ концы −1 и 9.

Ответ: (−1; 9)

2

График построен верно: y = x² − 2x при x ≥ 0 (вершина (1; −1)) и y = −x² − 6x при x < 0 (вершина (−3; 9)); обоснованно получен промежуток −1 < m < 9 без концов.

1

График построен верно, но промежуток значений m найден неверно или не полностью (например, включены концы −1 и 9 или ошибочно выколото m = 0).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.