ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Разложите x² − 1 на множители и сократите дробь, не забыв, что x ≠ −1.

Найдите, какая точка графика выколота, и проверьте уровень этой точки отдельно.

1. Область определения и сокращение

   Знаменатель x + 1 ≠ 0, поэтому x ≠ −1. Раскладываем x² − 1 = (x − 1)(x + 1) и сокращаем на x + 1 ≠ 0: y = |x|·(x − 1) при x ≠ −1.

2. Раскрываем модуль

   При x ≥ 0: y = x(x − 1) = x² − x = (x − 1/2)² − 1/4 — часть параболы ветвями вверх с вершиной (1/2; −1/4), через (0; 0), (1; 0), (2; 2). При x < 0: y = −x(x − 1) = −x² + x — парабола ветвями вниз с вершиной (1/2; 1/4) правее нуля, поэтому при x < 0 функция возрастает от −∞ до 0: точки (−2; −6), (−1/2; −3/4).

3. Отмечаем выколотую точку

   При x = −1 функция не определена. На ветви y = −x² + x это точка (−1; −2): рисуем её пустым кружком.

4. Считаем общие точки

   Левая ветвь принимает каждое отрицательное значение ровно один раз, кроме −2, и не принимает значений ≥ 0. Правая часть: при m < −1/4 точек нет, при m = −1/4 одна, при −1/4 < m ≤ 0 две, при m > 0 одна. Складываем: m < −1/4, m ≠ −2 — одна; m = −2 — ни одной; m = −1/4 — две; −1/4 < m < 0 — три; m = 0 — две; m > 0 — одна.

5. Записываем ответ

   Ровно одна общая точка — при m < −2, при −2 < m < −1/4 и при m > 0. Типичная ошибка — не исключить m = −2: без учёта выколотой точки (−1; −2) прямая y = −2 пересекала бы график, а на самом деле общих точек у неё нет. Вторая ошибка — включить m = 0, хотя точек две: (0; 0) и (1; 0).

Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; −1/4) ∪ (0; +∞)

2

График построен верно: y = x² − x при x ≥ 0, y = −x² + x при x < 0, точка (−1; −2) выколота; обоснованно найдены все m: m < −2, −2 < m < −1/4 и m > 0.

1

График построен верно, но значения m найдены неверно или не все (например, не исключено m = −2 из-за выколотой точки или ошибочно включено m = 0 либо m = −1/4).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.