Условие
Постройте график функции y = x² − 3|x| − x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Подсказка
Раскройте |x| отдельно при x ≥ 0 и при x < 0: получатся две разные параболы.
Ровно три точки бывают, когда прямая проходит через вершину одной из частей или через точку, где части склеиваются.
Показать ответ
−1; 0
Пошаговое решение
- Раскрываем модуль
Модуль |x| раскрывается по-разному при x ≥ 0 и при x < 0. При x ≥ 0: |x| = x, y = x² − 3x − x = x² − 4x. При x < 0: |x| = −x, y = x² + 3x − x = x² + 2x. График состоит из частей двух разных парабол; при x = 0 обе формулы дают y = 0, поэтому части склеиваются в (0; 0).
- Строим правую часть
y = x² − 4x = (x − 2)² − 4 при x ≥ 0: ветви вверх, вершина (2; −4), нули x = 0 и x = 4. Контрольные точки (1; −3), (3; −3), (5; 5). Берём часть параболы правее оси Oy, включая (0; 0).
- Строим левую часть
y = x² + 2x = (x + 1)² − 1 при x < 0: вершина (−1; −1), нули x = −2 и x = 0. Контрольные точки (−2; 0), (−3; 3). Берём часть параболы левее оси Oy; точка (0; 0) уже принадлежит правой части.
- Считаем общие точки для разных m
Двигаем прямую y = m снизу вверх. m < −4: точек нет; m = −4: одна (вершина (2; −4)); −4 < m < −1: две, обе на правой части; m = −1: прямая проходит через вершину (−1; −1) левой части и дважды пересекает правую — три точки; −1 < m < 0: по две точки на каждой части — четыре; m = 0: точки (−2; 0), (0; 0), (4; 0) — три; m > 0: по одной на каждой части — две.
- Проверяем и записываем ответ
Ровно три общие точки — при m = −1 и при m = 0. Проверка m = −1: при x ≥ 0 уравнение x² − 4x = −1 даёт x = 2 ± √3, оба корня положительны, при x < 0 — x = −1: три точки. Типичные ошибки: при m = 0 приписать точку (0; 0) обеим частям и насчитать четыре точки или вовсе потерять уровень m = 0.
Ответ: −1; 0
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно: y = x² − 4x при x ≥ 0 (вершина (2; −4)) и y = x² + 2x при x < 0 (вершина (−1; −1)); обоснованно найдены оба значения m = −1 и m = 0.
- 1
- График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все (например, потеряно m = 0, при котором прямая проходит через точку стыка (0; 0)).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.