Условие
Постройте график функции y = −x² + 4|x| − 3 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с ним ровно две общие точки.
Подсказка
Функция чётная: постройте часть графика при x ≥ 0 и отразите её относительно оси Oy.
Обратите внимание на значение функции при x = 0: там две половины графика образуют излом.
Показать ответ
(−∞; −3); 1
Пошаговое решение
- Замечаем чётность
|−x| = |x| и (−x)² = x², поэтому y(−x) = y(x): функция чётная и её график симметричен относительно оси Oy. Достаточно построить его при x ≥ 0 и отразить.
- Строим правую половину
При x ≥ 0: y = −x² + 4x − 3 = −(x − 2)² + 1 — парабола ветвями вниз, вершина (2; 1), нули x = 1 и x = 3, при x = 0 значение −3, контрольная точка (4; −3). Берём её часть при x ≥ 0.
- Отражаем относительно оси Oy
Получаем вторую вершину (−2; 1), нули −1 и −3, точку (−4; −3). Обе половины сходятся в точке (0; −3) — это излом («ложбина») между двумя «горбами».
- Считаем общие точки
m > 1: общих точек нет. m = 1: две — вершины (−2; 1) и (2; 1). −3 < m < 1: каждый горб пересекается дважды — четыре точки. m = −3: (−4; −3), (0; −3), (4; −3) — три. m < −3: прямая ниже ложбины пересекает только две крайние ветви — две точки.
- Проверяем и записываем ответ
Ровно две общие точки — при m < −3 и при m = 1. Проверка m = −4: при x ≥ 0 уравнение x² − 4x − 1 = 0 даёт x = 2 + √5 (корень 2 − √5 отрицателен и не подходит), по симметрии ещё x = −2 − √5 — две точки. Типичная ошибка — забыть нижние ветви и записать только m = 1 или включить m = −3, где точек три.
Ответ: (−∞; −3); 1
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно: часть параболы y = −(x − 2)² + 1 при x ≥ 0 и её отражение относительно Oy, отмечен излом (0; −3); обоснованно найдены m = 1 и все m < −3.
- 1
- График построен верно, но значения m найдены неверно или не все (например, потерян промежуток m < −3 или включено m = −3, при котором общих точек три).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.