ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Начало координат лежит на графике, поэтому одна общая точка есть при любом k.

Решите уравнение отдельно на участках, где x² − 4x ≥ 0 и где x² − 4x < 0: в каждом случае можно вынести x за скобки.

1. Строим y = x² − 4x и отражаем отрицательную часть

   Парабола y = x² − 4x = (x − 2)² − 4: вершина (2; −4), нули 0 и 4. На отрезке [0; 4] она ниже оси Ox, там модуль меняет знак: y = 4x − x², дуга с вершиной (2; 4). При x ≤ 0 и x ≥ 4 график совпадает с параболой.

2. Замечаем общую точку O

   Каждая прямая y = kx проходит через O(0; 0), а эта точка лежит на графике. Значит, одна общая точка есть всегда, и нужно выяснить, когда других точек нет.

3. Ищем остальные точки

   При x ≤ 0 и x ≥ 4: x² − 4x = kx, x(x − 4 − k) = 0, вторая точка x = 4 + k; она отлична от O и лежит на этих участках, если k ≥ 0 (тогда 4 + k ≥ 4) или k < −4 (тогда 4 + k < 0). При 0 < x < 4: 4x − x² = kx, вторая точка x = 4 − k, она подходит при 0 < k < 4.

4. Считаем точки

   k < −4: O и точка x = 4 + k < 0 — две. −4 ≤ k < 0: других точек нет — одна. k = 0: O и (4; 0) — две. 0 < k < 4: O, x = 4 − k и x = 4 + k — три. k ≥ 4: O и x = 4 + k — две. Прямые y = −4x и y = 4x касаются левой ветви и дуги в начале координат.

5. Проверяем и записываем ответ

   Ровно одна общая точка — при −4 ≤ k < 0. Проверка k = −4: x² − 4x = −4x даёт только x = 0, прямая y = −4x касается левой ветви в точке O, поэтому k = −4 входит в ответ. Типичные ошибки — исключить k = −4 как «касание» или включить k = 0, забыв о точке (4; 0).

Ответ: [−4; 0)

2

График построен верно (дуга y = 4x − x² на [0; 4] и ветви параболы вне отрезка), обоснованно найден промежуток −4 ≤ k < 0: учтено касание при k = −4 и точка (4; 0) при k = 0.

1

График построен верно, но значения k найдены неверно или не полностью (например, потеряно k = −4 или включено k = 0, при котором общих точек две).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.