ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Запишите условия |x| ≤ 2 и |x| > 2 без модуля: на каких промежутках действует каждая формула?

Вычислите значения формулы y = x − 2 при x = −2 и при x = 2 и сравните их со значениями дуги.

1. Расшифровываем условия с модулем

   |x| ≤ 2 означает −2 ≤ x ≤ 2 — это отрезок. |x| > 2 означает x < −2 или x > 2 — два луча. Значит, график состоит из трёх частей: дуги параболы посередине и двух кусков прямой y = x − 2 по бокам.

2. Строим дугу параболы

   y = 4 − x² на отрезке [−2; 2]: точки (−2; 0), (−1; 3), (0; 4), (1; 3), (2; 0), концы закрашены. Значения дуги — отрезок [0; 4].

3. Строим два луча прямой

   Правый луч (x > 2): точки (3; 1), (4; 2); при x = 2 он подходит к (2; 0) — к концу дуги, разрыва нет. Левый луч (x < −2): точки (−3; −5), (−4; −6); при x = −2 он подходит к (−2; −4), а эта точка выколота: дуга в x = −2 имеет значение 0, слева график обрывается скачком. Значения правого луча — (0; +∞), левого — (−∞; −4).

4. Считаем точки для всех m

   Дуга: 0 ≤ m < 4 — две точки x = ±√(4 − m), m = 4 — одна (0; 4). Правый луч: x = m + 2 > 2 при m > 0. Левый луч: x = m + 2 < −2 при m < −4. Итого: m < −4 — 1; −4 ≤ m < 0 — 0; m = 0 — 2; 0 < m < 4 — 3; m = 4 — 2; m > 4 — 1. Ровно две точки при m = 0 и m = 4.

5. Проверяем и отмечаем ошибку

   m = 0: точки (−2; 0) и (2; 0), правый луч точку (2; 0) не добавляет — он начинается правее. m = 4: вершина (0; 4) и точка луча (6; 4). Типичные ошибки — строить прямую y = x − 2 целиком (тогда при −4 ≤ m < 0 появляется лишняя точка) или посчитать при m = 0 точку (2; 0) дважды.

Ответ: 0; 4

2

График построен верно (дуга y = 4 − x² на [−2; 2], лучи y = x − 2 при x < −2 с выколотой точкой (−2; −4) и при x > 2), верно найдены оба значения m = 0 и m = 4.

1

График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все: например, потеряно одно из значений или при m = 0 точка (2; 0) посчитана дважды.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.