Условие
Постройте график функции y = (x³ + 8)/(x + 2) и найдите все значения k, при которых прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки.
Подсказка
Числитель — сумма кубов; после сокращения получится парабола с выколотой точкой.
Для каждой касательной проверьте, не совпадает ли точка касания с выколотой точкой.
Показать ответ
[−6; 2)
Пошаговое решение
- Раскладываем сумму кубов
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4). При x ≠ −2 y = x² − 2x + 4 = (x − 1)² + 3: парабола с вершиной (1; 3), ветви вверх. Выколотая точка при x = −2: y = 4 + 4 + 4 = 12, точка (−2; 12). Опорные точки (0; 4), (2; 4), (3; 7).
- Составляем уравнение для общих точек
x² − 2x + 4 = kx ⇔ x² − (k + 2)x + 4 = 0 при x ≠ −2. Дискриминант D = (k + 2)² − 16 = (k − 2)(k + 6).
- Случай D < 0
(k − 2)(k + 6) < 0 при −6 < k < 2 — действительных корней нет, общих точек нет.
- Случай D = 0
k = 2: x = (k + 2)/2 = 2, прямая y = 2x касается параболы в точке (2; 4) — одна общая точка. k = −6: x = (−6 + 2)/2 = −2, но это выколотая абсцисса — точка касания (−2; 12) выколота, общих точек нет. При D > 0 корни дают произведение 4; корень −2 возможен только при k = −6, поэтому точек две.
- Записываем результат и проверяем
Общих точек нет при −6 ≤ k < 2. Проверка: при k = −6 уравнение x² + 4x + 4 = (x + 2)² = 0 имеет лишь исключённый корень. Типичные ошибки: записать ответ (−6; 2), не проверив, где лежит точка касания, или включить k = 2, где прямая касается графика.
Ответ: [−6; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: [−6; 2). Решено неравенство D < 0 и отдельно исследованы оба случая D = 0 с проверкой точки касания (−2; 12).
- 1
- График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, записан ответ (−6; 2) без проверки, что точка касания (−2; 12) выколота, или включено k = 2 (касание в точке (2; 4)).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.