Условие
Постройте график y=x²(x−1)(x−3)/((x−1)(x−3)). Найдите все m, при которых прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Подсказка
x≠1 и x≠3. Эти значения нельзя вернуть после сокращения.
На ОДЗ y=x². Строим параболу с вершиной (0;0), но точки (1;1) и (3;9) отмечаем выколотыми.
Показать ответ
m=0; 1; 9
Пошаговое решение
- Определяем область определения
x≠1 и x≠3. Эти значения нельзя вернуть после сокращения.
- Описываем построение
На ОДЗ y=x². Строим параболу с вершиной (0;0), но точки (1;1) и (3;9) отмечаем выколотыми.
- Разбираем неположительные уровни
При m<0 пересечений нет. При m=0 есть одна точка (0;0), она не выколота.
- Разбираем положительные уровни
У обычной параболы две точки x=±√m. При m=1 исчезает только положительная точка x=1; при m=9 — только x=3. Отрицательные точки остаются.
- Проверяем другие уровни
При любом другом m>0 обе точки допустимы. Поэтому ровно одна точка получается только при m=0, 1, 9.
Ответ: m=0; 1; 9