ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Вычислите значения обеих формул при x = 2: совпадают ли они? Какая точка принадлежит графику?

Найдите вершину параболы и выясните, при каких m оба корня уравнения лежат в промежутке x ≥ 2.

1. Строим параболическую часть (x ≥ 2)

   x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1: ветви вверх, вершина (3; 1). Точки (2; 2) — закрашенная, (3; 1), (4; 2), (5; 5). Наименьшее значение 1 достигается в вершине.

2. Строим луч (x < 2) и отмечаем разрыв

   y = 5 − x: точки (1; 4), (0; 5), (−1; 6). При x = 2 формула дала бы 3, но x = 2 не входит — точка (2; 3) выколота. Значит, в x = 2 график делает скачок: луч подходит к уровню 3, а точка графика — (2; 2). Значения луча — (3; +∞).

3. Считаем точки на каждой части

   Парабола: (x − 3)² + 1 = m, x = 3 ± √(m − 1). Левый корень не меньше 2 при √(m − 1) ≤ 1, то есть m ≤ 2. Значит, m < 1 — нет точек, m = 1 — одна, 1 < m ≤ 2 — две, m > 2 — одна. Луч: x = 5 − m < 2 при m > 3 — одна точка, при m ≤ 3 — ни одной.

4. Складываем количества

   m < 1: 0; m = 1: 1; 1 < m ≤ 2: 2; 2 < m ≤ 3: 1 + 0 = 1; m > 3: 1 + 1 = 2. Единственная общая точка при m = 1 и при 2 < m ≤ 3.

5. Проверяем концы и отмечаем ошибку

   m = 2: точки (2; 2) и (4; 2) — две, поэтому 2 не входит. m = 3: луч дал бы (2; 3), но она выколота, остаётся (3 + √2; 3) — одна точка, поэтому 3 входит. Типичные ошибки — записать (2; 3) без правого конца, не заметив выколотую точку, или забыть изолированное значение m = 1 (вершина).

Ответ: 1; (2; 3]

2

График построен верно (часть параболы с вершиной (3; 1) при x ≥ 2 и луч y = 5 − x с выколотой точкой (2; 3)), верно найдены все m: m = 1 и 2 < m ≤ 3, с обоснованием концов промежутка.

1

График построен верно, но искомые значения m найдены неверно или не все: например, потеряно m = 1, включено m = 2 или исключено m = 3.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.