Условие
Постройте график функции y = (x² − 9)/(|x| − 3). Определите все значения углового коэффициента k, для которых прямая y = kx пересекает построенный график в единственной точке.
Подсказка
Раскройте модуль в знаменателе при x ≥ 0 и при x < 0 и сократите дробь на разные множители.
Для каждого луча найдите абсциссу общей точки с прямой y = kx и проверьте, лежит ли она на луче и не выколота ли.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞)
Пошаговое решение
- Находим область определения
Знаменатель |x| − 3 обращается в нуль при |x| = 3, поэтому x ≠ 3 и x ≠ −3. Модуль стоит только в знаменателе, и раскрывать его придётся отдельно при x ≥ 0 и при x < 0.
- Раскрываем модуль и сокращаем
При x ≥ 0, x ≠ 3: |x| − 3 = x − 3, y = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3. При x < 0, x ≠ −3: |x| − 3 = −x − 3 = −(x + 3), y = (x − 3)(x + 3)/(−(x + 3)) = 3 − x. Обе формулы записываются одной: y = |x| + 3 при x ≠ ±3.
- Строим график
«Уголок» с вершиной (0; 3): правый луч y = x + 3 (точки (1; 4), (2; 5)), левый луч y = 3 − x (точки (−1; 4), (−2; 5)). Выколотые точки: x = 3 даёт y = 6, x = −3 даёт y = 6 — это (3; 6) и (−3; 6), рисуем их пустыми кружками.
- Пересекаем прямую y = kx с каждым лучом
Правый луч: x + 3 = kx, (k − 1)x = 3, x = 3/(k − 1); нужно x ≥ 0, то есть k > 1 (при k = 1 прямая параллельна лучу), и x ≠ 3, то есть k ≠ 2. Левый луч: 3 − x = kx, (k + 1)x = 3, x = 3/(k + 1); нужно x < 0, то есть k < −1, и x ≠ −3, то есть k ≠ −2. Условия k > 1 и k < −1 несовместны, поэтому общая точка всегда не больше одной, а при −1 ≤ k ≤ 1 их нет вовсе.
- Записываем ответ и проверяем
Ровно одна общая точка при k < −2, −2 < k < −1, 1 < k < 2 и k > 2. Проверка k = 2: 2x = x + 3 даёт x = 3 — выколота, а на левом луче 3x = 3, x = 1 > 0 — не подходит: точек нет. Типичные ошибки — забыть выколотые точки и записать (−∞; −1) ∪ (1; +∞), включить k = ±1 (прямые параллельны лучам) или при x < 0 раскрыть |x| − 3 как x − 3 и получить не тот луч.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно: y = |x| + 3 при x ≠ ±3 (уголок с вершиной (0; 3) и выколотыми точками (−3; 6) и (3; 6)); обоснованно найдены все k: k < −2, −2 < k < −1, 1 < k < 2, k > 2, исключены параллельные лучам k = ±1 и прямые y = ±2x через выколотые точки.
- 1
- График построен верно, но значения k найдены неверно или не все (например, не исключены k = ±2, при которых прямая проходит через выколотую точку, или включены k = ±1).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.