Условие
Постройте график y=|x²−4| и найдите все m, при которых прямая y=m имеет с ним ровно три общие точки.
Подсказка
При x≤−2 или x≥2 график совпадает с y=x²−4. На отрезке [−2;2] отрицательную часть исходной параболы отражаем вверх: y=4−x². Опорные точки (−2;0), (0;4), (2;0).
|x²−4|=m. Если m<0, решений нет. При m≥0 получаем x²=4+m или x²=4−m.
Показать ответ
m=4
Пошаговое решение
- Описываем построение по частям
При x≤−2 или x≥2 график совпадает с y=x²−4. На отрезке [−2;2] отрицательную часть исходной параболы отражаем вверх: y=4−x². Опорные точки (−2;0), (0;4), (2;0).
- Записываем уравнение пересечений
|x²−4|=m. Если m<0, решений нет. При m≥0 получаем x²=4+m или x²=4−m.
- Разбираем уровни ниже вершины внутренней дуги
При m=0 оба уравнения совпадают и дают две точки x=±2. При 0<m<4 их правые части положительны и различны: четыре точки.
- Проверяем граничный уровень
При m=4 получаем x²=8 или x²=0. Это три абсциссы: −2√2, 0, 2√2.
- Исключаем остальные уровни
При m>4 второе уравнение решений не имеет, первое даёт две точки. Значит ровно три точки только при m=4.
Ответ: m=4