ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

После сокращения выделите целую часть: получится сдвинутая гипербола с выколотой точкой.

Уравнение для общих точек содержит k при x²; разберите отдельно случай, когда оно не квадратное.

1. Сокращаем дробь и выделяем целую часть

   x² − x = x(x − 1), поэтому x ≠ 0 и x ≠ 1. x² − 1 = (x − 1)(x + 1), при x ≠ 1 y = (x + 1)/x = 1 + 1/x. Это гипербола y = 1/x, поднятая на 1: асимптоты x = 0 и y = 1. Выколотая точка при x = 1: y = 2, (1; 2). Опорные точки: (−1; 0), (−2; 1/2), (−1/2; −1), (2; 3/2), (1/2; 3).

2. Составляем уравнение для общих точек

   1 + 1/x = kx при x ≠ 0, x ≠ 1. Умножаем на x: kx² − x − 1 = 0 (x = 0 корнем не является, так как −1 ≠ 0).

3. Случай k = 0

   Уравнение становится линейным: −x − 1 = 0, x = −1. Прямая y = 0 пересекает график только в одной точке (−1; 0): правую ветвь она не встречает, так как там y > 1. Значит, k = 0 не подходит.

4. Случай k ≠ 0: дискриминант и выколотая точка

   D = 1 + 4k. При k < −1/4 корней нет; при k = −1/4 корень один, x = 1/(2k) = −2 — касание в точке (−2; 1/2). При k > −1/4, k ≠ 0 корней два. Корень x = 1 выколот; он получается, если k − 1 − 1 = 0, то есть k = 2. Тогда по теореме Виета второй корень равен −1/k = −1/2, и общая точка (−1/2; −1) остаётся одна.

5. Записываем результат и проверяем

   Ровно две общие точки при −1/4 < k < 0, 0 < k < 2 и k > 2. Проверка k = 1: x² − x − 1 = 0, x = (1 ± √5)/2 — оба корня отличны от 0 и 1, точки две. Типичные ошибки: оставить k = 0, решив, что при D = 1 + 4k > 0 корней всегда два (при k = 0 уравнение линейное), не вырезать k = 2 (прямая y = 2x через выколотую точку (1; 2)) или включить касание k = −1/4.

Ответ: (−1/4; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞)

2

График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: (−1/4; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞). Разобраны случаи k = 0 (уравнение линейное, точка одна), D = 0 (касание при k = −1/4) и D > 0, исключена прямая y = 2x через выколотую точку (1; 2).

1

График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, оставлено k = 0, где уравнение линейное и точка одна, не исключено k = 2 или включено касание k = −1/4.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.