Условие
Постройте график функции y = x² + 1 при x ≥ −1 и y = 1 − x при x < −1. При каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку?
Подсказка
Составьте квадратное уравнение для общих точек прямой y = kx и параболической части; когда у него один корень?
Не забудьте проверять, попадают ли найденные корни в промежуток, на котором задана каждая часть.
Показать ответ
(−∞; −1); 2
Пошаговое решение
- Строим график
При x ≥ −1 — часть параболы y = x² + 1 с вершиной (0; 1): точки (−1; 2) — закрашенная, (0; 1), (1; 2), (2; 5). При x < −1 — луч y = 1 − x: точки (−2; 3), (−3; 4); при x = −1 он подходит к той же точке (−1; 2), график непрерывен.
- Пересечение y = kx с параболической частью
x² + 1 = kx, x² − kx + 1 = 0, D = k² − 4. При −2 < k < 2 корней нет. При k = 2 корень x = 1 — касание в точке (1; 2). При k = −2 корень x = −1 — касание в точке стыка (−1; 2), она входит в эту часть. При |k| > 2 два корня, их произведение по теореме Виета равно 1, сумма равна k. Если k > 2, оба корня положительны — две точки. Если k < −2, оба отрицательны: один в промежутке (−1; 0), другой меньше −1 — на параболической части лежит только одна точка.
- Пересечение y = kx с лучом
kx = 1 − x, (k + 1)x = 1. При k = −1 решений нет (прямая параллельна лучу). Иначе x = 1/(k + 1), и нужно x < −1: это возможно только при k + 1 < 0 и |k + 1| < 1, то есть −2 < k < −1.
- Собираем результат
k < −2: 1 + 0 = 1; k = −2: 1 + 0 = 1; −2 < k < −1: 0 + 1 = 1; −1 ≤ k < 2: 0; k = 2: 1; k > 2: 2. Ровно одна общая точка при k < −1 и при k = 2.
- Проверяем и отмечаем ошибку
k = −3: x² + 3x + 1 = 0, x = (−3 ± √5)/2; корень (−3 + √5)/2 ≈ −0,38 подходит, корень ≈ −2,62 меньше −1 и лежит вне параболической части — точка одна. Типичные ошибки — считать, что при k < −2 точек две (не проверив условие x ≥ −1), потерять касание k = 2 или включить k = −1.
Ответ: (−∞; −1); 2
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (часть параболы y = x² + 1 при x ≥ −1 и луч y = 1 − x при x < −1), верно найдены все k: k < −1 и k = 2, с проверкой, какие корни лежат в своих промежутках.
- 1
- График построен верно, но искомые значения k найдены неверно или не все: например, потеряно k = 2, отброшен промежуток k < −2 или включено k = −1.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.