Условие
Постройте график функции y = (x³ − 6x² + 13x − 10)/(x − 2). Выясните, для каких m график и горизонтальная прямая y = m не пересекаются.
Подсказка
Проверьте, обращается ли числитель в нуль при x = 2, и разложите его на множители.
Сравните исключённую абсциссу с абсциссой вершины получившейся параболы.
Показать ответ
(−∞; 1]
Пошаговое решение
- Делим числитель на x − 2
Функция определена при x ≠ 2. Числитель при x = 2 равен 8 − 24 + 26 − 10 = 0, значит, он делится на x − 2. Группируем: x³ − 2x² − 4x² + 8x + 5x − 10 = x²(x − 2) − 4x(x − 2) + 5(x − 2) = (x − 2)(x² − 4x + 5).
- Упрощаем формулу
При x ≠ 2 y = x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1. Это парабола с вершиной (2; 1), ветви вверх; опорные точки (1; 2), (3; 2), (0; 5), (4; 5).
- Замечаем, что выколота вершина
Исключённая абсцисса x = 2 совпадает с абсциссой вершины, поэтому выколота сама вершина (2; 1). Значение 1 функция не принимает, а наименьшего значения у неё нет.
- Разбираем горизонтальные прямые
(x − 2)² + 1 = m ⇔ (x − 2)² = m − 1. При m < 1 решений нет. При m = 1 единственное решение x = 2 исключено — общих точек нет. При m > 1 x = 2 ± √(m − 1), обе абсциссы отличны от 2 — две общие точки.
- Записываем результат и проверяем
Общих точек нет при m ≤ 1. Типичные ошибки: записать строгое неравенство m < 1, считая, что при m = 1 прямая «касается в вершине», или не заметить делимости числителя и строить график по точкам.
Ответ: (−∞; 1]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно (с выколотыми точками), обоснованно найдены все искомые значения: (−∞; 1]. Показано, что выколота вершина (2; 1), поэтому значение m = 1 входит в ответ.
- 1
- График построен верно, выколотые точки отмечены, но искомые значения параметра найдены неверно или не все: например, записано строгое неравенство m < 1, хотя вершина (2; 1) выколота и уровень m = 1 тоже не даёт точек.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.