Условие
Постройте график функции y = |x² − 2|x| − 3|. Выясните, при каких значениях m горизонтальная прямая y = m пересекает этот график ровно в четырёх точках.
Подсказка
Сначала постройте график y = x² − 2|x| − 3 (он симметричен относительно Oy), потом отразите вверх его части, лежащие ниже оси Ox.
Отдельно разберите уровень ложбины между горбами и уровень вершин горбов.
Показать ответ
(0; 3); 4
Пошаговое решение
- Строим y = x² − 2|x| − 3
Функция чётная. При x ≥ 0: y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4, вершина (1; −4), нуль x = 3, при x = 0 значение −3. Отражаем эту часть относительно Oy: вершина (−1; −4), нуль x = −3.
- Применяем внешний модуль
Часть графика ниже оси Ox (при −3 < x < 3) отражаем вверх: получаются два «горба» с вершинами (−1; 4) и (1; 4) и ложбина (0; 3) между ними; при |x| ≥ 3 график не меняется. Нули: x = −3 и x = 3.
- Считаем точки на правой половине
При x ≥ 0: m = 0 — точка (3; 0); 0 < m < 3 — две (на спуске горба и на внешней ветви); m = 3 — три: (0; 3), (2; 3) и точка внешней ветви; 3 < m < 4 — три (подъём, спуск и внешняя ветвь); m = 4 — две: (1; 4) и внешняя; m > 4 — одна.
- Складываем с левой половиной
Слева столько же точек, но точку (0; 3) считаем один раз. Итого: m < 0 — ни одной; m = 0 — две; 0 < m < 3 — четыре; m = 3 — пять; 3 < m < 4 — шесть; m = 4 — четыре; m > 4 — две.
- Проверяем и записываем ответ
Ровно четыре общие точки — при 0 < m < 3 и при m = 4. Проверка m = 4: x² − 2|x| − 3 = 4 даёт |x| = 1 + 2√2, а x² − 2|x| − 3 = −4 даёт |x| = 1 — четыре значения x. Типичные ошибки — потерять уровень m = 4 или включить m = 3, где из-за точки (0; 3) общих точек пять.
Ответ: (0; 3); 4
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- График построен верно: два горба с вершинами (±1; 4), ложбина (0; 3), нули ±3; обоснованно найдены все m: промежуток 0 < m < 3 и значение m = 4.
- 1
- График построен верно, но значения m найдены неверно или не все (например, потеряно m = 4 или включено m = 3, при котором общих точек пять).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.