Условие
Постройте график функции y=((x-3)(x-1)²)/(x-3). Определите все значения m, при которых прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Подсказка
После сокращения получится парабола y=(x-1)² с исключённой точкой x=3.
Обычно горизонтальная прямая касается параболы при m=0; проверьте отдельно уровень выколотой точки.
Показать ответ
0;4
Пошаговое решение
- Область допустимых значений
Каждый знаменатель исходного выражения должен быть отличен от нуля. Эти исключения сохраняются после сокращения дроби и умножения уравнения на знаменатель: запрещённую точку нельзя возвращать в ответ.
- Намечаем ход решения
После сокращения получится парабола y=(x-1)² с исключённой точкой x=3. Обычно горизонтальная прямая касается параболы при m=0; проверьте отдельно уровень выколотой точки.
- Учитываем ограничения
При x≠3 график совпадает с параболой y=(x-1)², но точка (3;4) выколота.
- Выполняем преобразование
Уровень m=0 касается вершины (1;0), поэтому даёт одну точку.
- Выполняем преобразование
При m=4 у полной параболы были бы x=-1 и x=3, но x=3 исключён, остаётся одна точка x=-1.
- Выполняем преобразование
При других m>0 точек две, а при m<0 нет.
Ответ: 0;4