ОГЭ, задание 22: График функции с параметром

Раскройте модули на промежутках x ≤ −1, −1 ≤ x ≤ 3, x ≥ 3: два куска окажутся горизонтальными.

Все прямые y = kx вращаются вокруг начала координат; найдите прямые, проходящие через концы наклонного отрезка.

1. Раскрываем модули на трёх промежутках

   Подмодульные выражения обращаются в нуль при x = −1 и x = 3. При x ≤ −1: y = (3 − x) − (−x − 1) = 4. При −1 ≤ x ≤ 3: y = (3 − x) − (x + 1) = 2 − 2x. При x ≥ 3: y = (x − 3) − (x + 1) = −4.

2. Строим график

   Горизонтальный луч y = 4, идущий влево от точки (−1; 4); отрезок от (−1; 4) до (3; −4), проходящий через (0; 2) и (1; 0); горизонтальный луч y = −4, идущий вправо от точки (3; −4).

3. Находим особые прямые y = kx

   Все прямые y = kx проходят через O(0; 0). Прямая через конец (3; −4): k = −4/3. Прямая через конец (−1; 4): k = −4. Прямая с k = −2 параллельна отрезку. При k = 0 — ось Ox.

4. Считаем точки при разных k

   k ≥ 0: лучи не пересекаются (при x ≤ −1 прямая ниже 4, при x ≥ 3 выше −4), с отрезком одна точка x = 2/(k + 2) — всего одна. −4/3 < k < 0: левый луч в точке x = 4/k ≤ −1, отрезок при x = 2/(k + 2) ∈ (1; 3), правый луч в точке x = −4/k > 3 — три точки. k = −4/3: точка правого луча совпадает с концом отрезка (3; −4) — две. k < −4/3: правый луч не пересекается, остаётся одна точка (на левом луче или на отрезке).

5. Проверяем и записываем ответ

   Ровно три общие точки — при −4/3 < k < 0. Проверка k = −1: прямая y = −x даёт (−4; 4) на левом луче, (2; −2) на отрезке (2 − 2x = −x, x = 2) и (4; −4) на правом луче. Типичная ошибка — включить k = −4/3: прямая проходит через угол (3; −4), и две точки сливаются в одну.

Ответ: (−4/3; 0)

2

График построен верно (лучи y = 4 при x ≤ −1, y = −4 при x ≥ 3 и отрезок y = 2 − 2x), обоснованно найден промежуток −4/3 < k < 0: граница −4/3 — прямая через (3; −4), граница 0.

1

График построен верно, но значения k найдены неверно или не полностью (например, включён конец k = −4/3 или k = 0, либо ошибка в угловом коэффициенте прямой через (3; −4)).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.