Условие
В треугольнике ABC угол A равен 120°, AB=10, AC=15. Найдите длину биссектрисы AL.
Подсказка
Биссектриса разбивает треугольник на два треугольника. Как связаны их площади с площадью ABC?
Запишите каждую площадь через две стороны и синус угла между ними.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Разбиваем треугольник биссектрисой
Биссектриса AL делит треугольник ABC на треугольники ABL и ALC, поэтому S(ABC)=S(ABL)+S(ALC). Углы BAL и LAC равны 120° : 2 = 60°.
- Записываем площади через синус угла
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S(ABC)=(1/2)·AB·AC·sin 120°, S(ABL)=(1/2)·AB·AL·sin 60°, S(ALC)=(1/2)·AL·AC·sin 60°.
- Сравниваем синусы
sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2. Разделив равенство площадей на (1/2)·sin 60°, получаем AB·AC=AL·(AB+AC).
- Находим AL
10·15=AL·(10+15), 150=25·AL, AL=6.
- Проверяем и записываем ответ
Для угла 120° биссектриса AL=AB·AC/(AB+AC) меньше каждой из сторон: 6<10<15. Типичная ошибка — взять sin 120° = −√3/2 (синус тупого угла положителен): тогда синусы не сокращаются и получается отрицательная «длина».
Ответ: 6
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно записано S(ABC)=S(ABL)+S(ALC) по формуле S=(1/2)ab·sin C, учтено sin 120° = sin 60°, получено уравнение 150=25·AL и ответ 6.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но не обосновано равенство sin 120° = sin 60° (или деление угла биссектрисой на два угла по 60°) либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.